Question

3．為調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)教師對新入學(xué)的45名學(xué)生進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，其中每周自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間不少于15小時(shí)的有19人，余下的人中，在高三模擬考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占$\frac{8}{13}$，統(tǒng)計(jì)成績后，得到如下的2×2列聯(lián)表：

	分?jǐn)?shù)大于等于120分	分?jǐn)?shù)不足120分	合計(jì)
周做題時(shí)間不少于15小時(shí)	15	4	19
周做題時(shí)間不足15小時(shí)	10	16	26
合計(jì)	25	20	45

（Ⅰ）請完成上面的2×2列聯(lián)表，并判斷在“犯錯(cuò)誤概率不超過0.01”的前提下，能否認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間之間有相關(guān)關(guān)系”；
（Ⅱ）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分?jǐn)?shù)大于等于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，若在上述9名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少1人分?jǐn)?shù)不足120分的概率．
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上面的2×2列聯(lián)表，求出K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）列舉法確定基本事件，即可得出在上述9名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，至少1人分?jǐn)?shù)不足120分的概率．

解答 解：（Ⅰ）

	分?jǐn)?shù)大于等于120分）	分?jǐn)?shù)不足120分）	合計(jì)
周做題時(shí)間不少于15小時(shí)	15	4	19
周做題時(shí)間不足15小時(shí)	10	16	26
合計(jì)	25	20	45

…．（2分）∵${K^2}=\frac{{45{{（15×16-10×4）}^2}}}{25×20×19×26}≈7.29＞6.635$∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”…..…..（6分）
（Ⅱ）（ i）由分層抽樣知大于等于120分的有5人，設(shè)為a，b，c，d，e；不足120分的有4人，設(shè)為x，y，z，m…．（7分）
所有基本事件為36個(gè)：（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（a，x）（a，y）（a，z）（a，m）（b，c）（b，d）（b，e）（b，x）（b，y）（b，z）（b，m）（c，d）（c，e）（c，x）（c，y）（c，z）（c，m）（d，e）（d，x）（d，y）（e，x）（e，y）（e，z）（e，m）（d，z）（d，m）（x，y）（x，z）（x，m）（y，z）（y，m）（z，m）…（8分）
設(shè)至少一人分?jǐn)?shù)不足120分為事件A，
則A中包含26個(gè)基本事件：（a，z）（a，m）（b，x）（b，y）（b，z）（b，m）（c，x）（a，x）（a，y）（c，y）（c，z）（c，m）（d，x）（d，y）（e，x）（e，y）（e，z）（e，m）（d，z）（d，m）（x，y）（x，z）（x，m）（y，z）（y，m）（z，m）…..（10分）
∴$P（A）=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}$…..（12分）

點(diǎn)評 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識的運(yùn)用，考查古典概型概率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．