Question

已知直線（m+2）x-（2m-1）y-3（m-4）=0．
（1）求證：不論m怎樣變化，直線恒過定點(diǎn)；
（2）求原點(diǎn)（0，0）到直線的距離的最大值．

Answer 1

分析：（1）把已知直線的方程去掉括號(hào)重新結(jié)合，得到m（x-2y-3）+2x+y+12=0，然后聯(lián)立x-2y-3=0與2x+y+12=0得到一個(gè)關(guān)于x與y的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到兩直線的交點(diǎn)，即為已知直線恒過的定點(diǎn)；
（2）寫出原點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意可知原點(diǎn)到已知直線的距離的最大值即為原點(diǎn)到直線恒過的頂點(diǎn)間的距離，所以利用兩點(diǎn)間的距離公式求出原點(diǎn)到定點(diǎn)間的距離即為距離的最大值．

解答：解：（1）證明：直線方程變?yōu)閙（x-2y-3）+2x+y+12=0，
故由

x-2y-3=0 2x+y+12=0

，得

x=- 21 5 y=- 18 5

，
∴不論m怎樣變化，直線恒過定點(diǎn)（-

21

5

，-

18

5

）．
（2）原點(diǎn)（0，0）到直線距離的最大值，即為原點(diǎn)（0，0）到點(diǎn)（-

21

5

，-

18

5

）的距離d．
∴d=

( 21 5 )2+( 18 5 )2

=

3 85

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)根據(jù)兩直線的方程求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．