Question

8．設(shè)a為實數(shù)，若函數(shù)y=$\frac{3}{x}$圖象上存在三個不同的點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），滿足x₁+y₂=x₂+y₃=x₃+y₁=a，則a的值為±$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由A，B，C滿足函數(shù)y=$\frac{3}{x}$解析式，消去x₂，x₃，化簡可得（a²-3）（x₁²-ax₁+3）=0，當(dāng)a²=3時，上式恒成立，列舉出A，B，C的橫坐標(biāo)，即可得到a的取值．

解答 解：x₁+y₂=x₂+y₃=x₃+y₁=a，
可得x₁+$\frac{3}{{x}_{2}}$=x₂+$\frac{3}{{x}_{3}}$=x₃+$\frac{3}{{x}_{1}}$=a，
即有x₃=a-$\frac{3}{{x}_{1}}$，x₂=$\frac{3}{a-{x}_{1}}$，
則$\frac{3}{a-{x}_{1}}$+$\frac{3}{a-\frac{3}{{x}_{1}}}$=a，
化為（a²-3）（x₁²-ax₁+3）=0，
當(dāng)a²=3時，上式恒成立，
即有x₁=2$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，
x₁+$\frac{3}{{x}_{2}}$=x₂+$\frac{3}{{x}_{3}}$=x₃+$\frac{3}{{x}_{1}}$=$\sqrt{3}$；
即有x₁=-2$\sqrt{3}$，x₂=$\sqrt{3}$，x₃=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，
x₁+$\frac{3}{{x}_{2}}$=x₂+$\frac{3}{{x}_{3}}$=x₃+$\frac{3}{{x}_{1}}$=-$\sqrt{3}$．
綜上可得，a=±$\sqrt{3}$．
故答案為：±$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查存在性問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的方法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．