3．已知f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求函數(shù)g（x）=lg（f（x）-2）的定義域；
（2）若f（x）的最小值為m，a，b，c∈R，a+b+c=m，證明：a2+b2+c2≥$\frac{1}{3}$．

分析 （1）由題意，|x-1|+|x-2|＞2，利用絕對值的幾何意義化簡，即可確定函數(shù)g（x）=lg（f（x）-2）的定義域；
（2）確定a+b+c=1，再由三元柯西不等式即可得證．

解答 （1）解：由題意，|x-1|+|x-2|＞2，
x＜1時，-x+1-x+2＜2，解得x＞0.5，∴0.5＜x＜1；
1≤x≤2時，x-1-x+2＜2，成立；
x＞2時，x-1+x-2＜2，解得x＜2.5，∴2＜x＜2.5；
綜上所述，0.5＜x＜2.5，
∴函數(shù)g（x）=lg（f（x）-2）的定義域為{x|0.5＜x＜2.5}；
（2）證明：f（x）=|x-1|+|x-2|≥|x-1-x+2|=1，
∴f（x）的最小值為1，
∴m=1，
∴a+b+c=1
由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2，
即得a2+b2+c2≥$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查函數(shù)的最值的求法，考查柯西不等式的運用，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

15．一個運動員宿舍的門牌號是一個三位數(shù)，一天，他在門外做倒立時發(fā)現(xiàn)門牌號倒著看成了另一個數(shù)，而且大了693，則該運動員宿舍的門牌號應是108．

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16．若集合A={x|x=2n，n∈Z}，B={x|x=4n±1，n∈Z}，則AUB=Z．

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11．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+ax，x＞0\\{2^x}-1，x≤0\end{array}\right.$有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）
A．（-∞，0）B．（0，1]C．（0，+∞）D．[0，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

18．已知m∈R，函數(shù)f（x）=emx-1-$\frac{lnx}{x}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若m=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）的最小值為m，求m的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

8．設a為實數(shù)，若函數(shù)y=$\frac{3}{x}$圖象上存在三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），滿足x1+y2=x2+y3=x3+y1=a，則a的值為±$\sqrt{3}$．

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15．已知點A（1，1），B（1，3），圓C：（x-a）2+（y+a-2）2=4上存在點P，使得PB2-PA2=32，則圓心橫坐標a的取值范圍為[7，9]．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)f（x）=aex-x+b，g（x）=x-ln（x+1），（a，b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若曲線y=f（x）與y=g（x）在坐標原點處的切線相同，問：
（�。┣骹（x）的最小值；
（ⅱ）若x≥0時，f（x）≥kg（x）恒成立，試求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若f（x）有兩個不同的零點x1，x2，對任意a∈（0，+∞），b∈R，證明：f′（$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$）＜0（f′（x）為f（x）的導函數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

13．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-2，k），若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=（　　）
A．5B．5$\sqrt{2}$C．2$\sqrt{5}$D．$\sqrt{5}$

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