Question

13．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形（O為原點），則雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
• B． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 利用三角形是正三角形，推出a，b關系，通過c=2，求解a，b，然后等到雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形（O為原點），
可得c=2，$\frac{a}=\sqrt{3}$，即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=3$，$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=3$，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，雙曲線的焦點坐標在x軸，所得雙曲線方程為：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力．