Question

已知函數(shù)f（x）=a•b^x的圖象過點A（0，），B（2，）．
（I）求函數(shù)f（x）的表達式；
（II）設a_n=log₂f（n），n∈N^*，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，求S_n；
（III）在（II）的條件下，若b_n=a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（I）∵函數(shù)f（x）=a•b^x的圖象過點
A（0，），B（2，）
∴解得：a=，b=2，∴f（x）=2^x-4
（II）a_n=log₂^f（n）==n-4
∴{a_n}是首項為-3，公差為1的等差數(shù)列
∴S_n=-3n+n（n-1）=n（n-7）；
（III）b_n=a_n=（n-4）
T_n=-3×+（-2）×+…+（n-4）×①
=-3×+（-2）×+…+（n-4）×②
①-②，得：T_n=-3×+++…+-（n-4）×
∴T_n=-2-（n-2）．
分析：（I）因為A和B在函數(shù)圖象上代入求出a，b即可得到f（x）的解析式；
（II）求得a_n=log₂f（n）=n-4，得到a_n為首項為-3，公差為1的等差數(shù)列，則S_n是數(shù)列的前n項和，利用等差數(shù)列的求和公式得到即可；
（III）在（II）的條件下，若b_n=a_n=（n-4），所以得到T_n，求出其一半，利用錯位相減法得到即可．
點評：考查學生利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力，以及等差數(shù)列前n項和公式的運用能力，用錯位相減法求數(shù)列之和的能力．