Question

【題目】設函數f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1），給出下述命題：
①f（x）有最小值；
②當a=0時，f（x）的值域為R；
③若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍是a≥﹣4；
④a=1時，f（x）的定義域為（﹣1，0）；
則其中正確的命題的序號是

Answer 1

【答案】②
【解析】解：①f（x）有最小值不一定正確，因為定義域不是實數集時，
函數f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）的值域是R，無最小值，
題目中不能排除這種情況的出現(xiàn)，故①不對．
②當a=0時，f（x）的值域為R是正確的，因為當a=0時，函數的定義域不是R，
即內層函數的值域是（0，+∞）故（x）的值域為R故②正確．
③若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍是a≥﹣4．是不正確的，
由f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增，可得內層函數的對稱軸﹣ ≤2，可得a≥﹣4，
由對數式有意義可得4+2a﹣a﹣1＞0，解得a＞﹣3，
故由f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增，應得出a＞﹣3，故③不對；
④a=1時，f（x）=lg（x2+x﹣2），令x2+x﹣2＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，
故函數的定義域是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故④不對；
綜上，②正確，
所以答案是：②．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．