Question

14．設(shè)向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$滿足$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{3}$，$|{\overrightarrow b}|=3\sqrt{3}$，若向量$\overrightarrow a在\overrightarrow b$方向上的投影為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且向量$\overrightarrow a-\overrightarrow c$與向量$\overrightarrow b-\overrightarrow c$的夾角為120°，則$|{\overrightarrow c}$|的最大值等于$2\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件容易求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為60°，然后作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，結(jié)合條件從而得出∠AOB=60°，∠ACB=120°，這便說(shuō)明A，O，B，C四點(diǎn)共圓，從而可知OC為圓的直徑時(shí)$|\overrightarrow{c}|$最大，可設(shè)OC=c，結(jié)合圖形及條件即可表示出cos∠AOC，cos∠BOC，sin∠AOC，sin∠BOC，而∠AOC+∠BOC=60°，這樣根據(jù)兩角和的余弦公式即可得出關(guān)于c²的方程，解出c²，從而便得出$|\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：根據(jù)條件：
$|\overrightarrow{a}|•cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\sqrt{3}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=60°$；
如圖，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，則∠AOB=60°，∠ACB=120°；

∴A，O，B，C四點(diǎn)共圓；
∴OC為圓的直徑時(shí)，$|\overrightarrow{c}|$最大；
設(shè)OC=c，則$BC=\sqrt{{c}^{2}-27}，AC=\sqrt{{c}^{2}-3}$；
∴$cos∠AOC=\frac{\sqrt{3}}{c}，cos∠BOC=\frac{3\sqrt{3}}{c}$，$sin∠AOC=\frac{\sqrt{{c}^{2}-3}}{c}，sin∠BOC=\frac{\sqrt{{c}^{2}-27}}{c}$；
∴cos60°=cos（∠AOC+∠BOC）=$\frac{9}{{c}^{2}}-\frac{\sqrt{{c}^{2}-3}\sqrt{{c}^{2}-27}}{{c}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
解得c²=28；
∴$c=2\sqrt{7}$；
即$|\overrightarrow{c}|$的最大值等于$2\sqrt{7}$．
故答案為：$2\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 考查投影的定義及計(jì)算公式，向量減法的幾何意義，四點(diǎn)共圓的概念，以及兩角和的余弦公式，三角函數(shù)的定義．