Question

11．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的左、右焦點分別為F₁、F₂，點P在該橢圓上，則使得△F₁F₂P是等腰三角形的點P的個數(shù)是6．

Answer 1

分析 如圖所示，①當點P與短軸的頂點重合時，△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為底邊的等腰三角形，此時有2個．
②當△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為一腰的等腰三角形時，共有4個．

解答 解：如圖所示，
①當點P與短軸的頂點重合時，
△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為底邊的等腰三角形，
此種情況有2個滿足條件的等腰△F₁F₂P；
②當△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為一腰的等腰三角形時，共有4個．
以F₂P作為等腰三角形的底邊為例，
∵F₁F₂=F₁P，
∴點P在以F₁為圓心，半徑為焦距2c的圓上
因此，當以F₁為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點時，
存在2個滿足條件的等腰△F₁F₂P．
同理可得：當以F₂為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點時，存在2個滿足條件的等腰△F₁F₂P．
綜上可得：滿足條件的使得△F₁F₂P是等腰三角形的點P的個數(shù)為6．
故答案為：6．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、等腰三角形，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．