Question

11．直線l過點P（2，1），與x軸，y軸的正半軸分布交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）當(dāng)直線l的斜率k=-1時，求△AOB的外接圓的面積；
（2）當(dāng)△AOB的面積最小時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線l的斜率k=-1時，直線l的方程為y-1=-（x-2），求出A，B的坐標(biāo)，即可求△AOB的外接圓的面積；
（2）設(shè)直線l：y-1=k（x-2），求出A，B的坐標(biāo)，表示面積，利用基本不等式，即可求出當(dāng)△AOB的面積最小時，直線l的方程．

解答 解：當(dāng)直線l的斜率k=-1時，直線l的方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0，可得A（3，0），B（0，3），|AB|=3$\sqrt{2}$，
且△AOB是直角三角形，AB為斜邊，故△AOB的外接圓半徑$r=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（4分）
所以外接圓的面積$s=π{（{\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}）^2}=\frac{9π}{2}$…（5分）
（2）由題知直線l的斜率k存在，且k＜0，設(shè)直線l：y-1=k（x-2），
令x=0，y=1-2k；令$y=0，x=2-\frac{1}{k}$，…（7分）
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{2-\frac{1}{k}}||{1-2k}|=\frac{1}{2}（{\frac{1-2k}{-k}}）（{1-2k}）=-\frac{1}{2}（{\frac{1}{k}+4k-4}）（{k＜0}）$，
由勾函數(shù)知，當(dāng)$k=-\frac{1}{2}$時，S_△AOB最小…（9分）
故直線l的方程為$y-1=-\frac{1}{2}（{x-2}）$，即x+2y-4=0…（10分）

點評 本題考查圓的面積，考查直線方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．