分析 (1)函數(shù)f(x)=ln(2x+a)-4x2-2x,對其進(jìn)行求導(dǎo),在x=0處取得極值,可得f′(0)=0,求得a值,求出f(x)的表達(dá)式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)f(x)=ln(2x+1)-4x2-2x的定義域為{x|x>-1},利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,可以推出ln(x+1)-x2-x≤0,令x=$\frac{1}{n}$,可以得到ln($\frac{1}{n}$+1)<$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$,利用此不等式進(jìn)行放縮證明.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=ln(2x+a)-4x2-2x
f′(x)=2($\frac{1}{2x+a}$-2x-1),
當(dāng)x=0時,f(x)取得極值,
∴f′(0)=0
故$\frac{1}{a}$-2×0-1=0,
解得a=1,經(jīng)檢驗a=1符合題意,
則實數(shù)a的值為1,
∴f(x)=ln(2x+1)-4x2-2x,(x>-$\frac{1}{2}$),
f′(x)=2($\frac{1}{2x+1}$-2x-1)=$\frac{-8x(x+1)}{2x+1}$,
令f′(x)>0,解得:-$\frac{1}{2}$<x<0,令f′(x)<0,解得:x>0,
∴f(x)在(-$\frac{1}{2}$,0)遞增,在(0,+∞)遞減;
(2)f(x)的定義域為{x|x>-$\frac{1}{2}$},
由(1)得:f(x)在(-$\frac{1}{2}$,0)遞增,在(0,+∞)遞減,
∴f(x)≤f(0),故ln(2x+1)-4x2-2x≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,等號成立)
對任意正整數(shù)n,取2x=$\frac{1}{n}$>0得,ln($\frac{1}{n}$+1)<$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$,
∴l(xiāng)n($\frac{n+1}{n}$)<$\frac{n+1}{{n}^{2}}$,
故2+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{9}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$>ln2+ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln(n+1).
點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性,解題過程中用到了分類討論的思想,分類討論的思想也是高考的一個重要思想,要注意體會其在解題中的運用,第二問難度比較大,利用了前一問的結(jié)論進(jìn)行證明,此題是一道中檔題.
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收看 | 不收看 | 合計 | |
45歲以下 | |||
45歲及以下 | |||
合計 |
P(K2≥k0) | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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A. | -1<m<$\frac{2}{3}$ | B. | m<$\frac{2}{3}$ | C. | m<$\frac{2}{3}$且m≠-1 | D. | m>$\frac{2}{3}$或m<-1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | l1和l2相同 | B. | l1和l2一定平行 | ||
C. | l1和l2相交于點($\overline x$,$\overline y$) | D. | 無法判斷l(xiāng)1和l2是否相交 |
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A. | -1-i | B. | 1+i | C. | 2i | D. | -1+i |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{e}$ | C. | 1 | D. | e |
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