Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)求證： ，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：(1) 由得， 有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩解，即的圖象與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) ∵，∴，故只需證明： ， 等價(jià)于，不妨設(shè)，并令， ，利用導(dǎo)數(shù)可證明，從而可得結(jié)果.

試題解析：(1)由得，

記，則，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

∴在上遞增，在上遞減，

又， 時(shí)， ， 時(shí)， ，

由題， 有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩解，

即的圖象與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，

故.

(2)∵，∴，故只需證明： ，

由，作差得： ，

因此， ，

不妨設(shè)，并令， ，

則，∴在上單調(diào)遞減， ，

即，即成立，于是原命題得證.