Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，若點(diǎn)P在橢圓上，且滿足|PO|²=|PF₁|•|PF₂|（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱點(diǎn)P為“*”點(diǎn)，則橢圓上的“*”點(diǎn)有4個(gè)．

Answer 1

分析 設(shè)出橢圓上的點(diǎn)P（x₀，y₀），利用焦半徑公式，表示出|PO|²=|PF₁|•|PF₂|，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)P（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，y₀²=b²（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$），
橢圓的第二定義可知：|PF₁|=a-ex₀，|PF₂|=a+ex₀，
因?yàn)閨PO|²=|PF₁|•|PF₂|，則x₀²+y₀²=a²-e²x₀²，
則有x₀²+b²（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$）=x₀²+y₀²，解得x₀=±$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
因此滿足條件的有四個(gè)點(diǎn)，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的新定義問題，解題時(shí)應(yīng)利用焦半徑列出方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，是基礎(chǔ)題．