Question

1．如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=8，AA₁=4，M為B₁C₁上一點且B₁M=2，點N在線段A₁D上，A₁D⊥AN．
（1）求直線A₁D與AM所成角的余弦值；
（2）求直線AD與平面ANM所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標系，寫出兩個向量的坐標，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個向量的夾角的余弦．
（2）利用線面垂直的判斷定理得到$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥平面AMN，利用向量的數(shù)量積公式求出法向量$\overrightarrow{{A}_{1}D}$與$\overrightarrow{AD}$所成角的余弦．

解答 解：（1）建立空間直角坐標系如圖．
可得$\overrightarrow{AM}$=（5，2，4），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，8，-4），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（=0+16-16=0
∴$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，
即直線A₁D與AM所成角的余弦值為0．
（2）$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥AM，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥AN，∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥平面AMN，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，8，-4）是平面AMN的一個法向量，
又$\overrightarrow{AD}$=（0，8，0），|$\overrightarrow{{A}_{1}D}$|=4$\sqrt{5}$，
|$\overrightarrow{AD}$|=8，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{AD}$=64；
∴cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，$\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{64}{4\sqrt{5}×8}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AD與平面AMN所成的角余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查利用向量的數(shù)量積求兩個向量的夾角余弦、求直線與平面所成的角的余弦，屬于中檔題．