Question

18．用數(shù)學(xué)歸納法證明下列等式：$\frac{1}{1×4}+\frac{1}{4×7}+\frac{1}{7×10}+…+\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}=\frac{n}{3n+1}$，n∈N^*．

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的步驟是：第一步，驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．關(guān)鍵是第二步中要充分用上歸納假設(shè)的結(jié)論．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左式=$\frac{1}{4}$，右式=$\frac{1}{3×1+1}=\frac{1}{4}$，左式=右式∴當(dāng)n=1時(shí)等式成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)結(jié)論成立，
即$\frac{1}{1×4}+\frac{1}{4×7}+\frac{1}{7×10}+…+\frac{1}{（3k-2）（3k+1）}=\frac{k}{3k+1}$
則當(dāng)n=k+1時(shí)$\frac{1}{1×4}+\frac{1}{4×7}+\frac{1}{7×10}+…+\frac{1}{（3k-2）（3k+1）}+\frac{1}{（3k+1）（3k+4）}$=$\frac{k}{3k+1}+\frac{1}{（3k+1）（3k+4）}$=$\frac{{3{k^2}+4k+1}}{（3k+1）（3k+4）}$=$\frac{（3k+1）（k+1）}{（3k+1）（3k+4）}$=$\frac{k+1}{3k+4}$=$\frac{k+1}{3（k+1）+1}$
∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．
根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任意n∈N^*都成立

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的思想，應(yīng)用中要注意的是用上歸納假設(shè)的結(jié)論，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．屬于中檔題．