Question

已知點(diǎn)（x，y）是區(qū)域

x+2y≤2n x≥0 y≥0

，（n∈N^*）內(nèi)的點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)z=x+y，z的最大值記作z_n．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且點(diǎn)（S_n，a_n）在直線z_n=x+y上．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n-2}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)線性規(guī)劃原理，可得z的最大值z(mì)_n=2n，從而得到S_n=2n-a_n．運(yùn)用數(shù)列前n項(xiàng)和S_n與a_n的關(guān)系，算出2a_n=a_n-1+2，由此代入數(shù)列{a_n-2}再化簡(jiǎn)整理，即可得到{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，公比q=

1

2

的等比數(shù)列；
（II）由（I）結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式，得出a_n=2-（

1

2

）^n-1，從而得到S_n=2n-2+（

1

2

）^n-1，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可算出{S_n}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式．

解答：解：（Ⅰ）∵目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線l：z=x+y，
區(qū)域

x+2y≤2n x≥0 y≥0

，（n∈N^*）表示以x軸、y軸和直線x+2y=2n為三邊的三角形，
∴當(dāng)x=2n，y=0時(shí)，z的最大值z(mì)_n=2n
∵（S_n，a_n）在直線z_n=x+y上
∴z_n=S_n+a_n，可得S_n=2n-a_n，
當(dāng)n≥2時(shí)，可得a_n=S_n-S_n-1=（2n-a_n）-[2（n-1）-a_n-1]
化簡(jiǎn)整理，得2a_n=a_n-1+2
因此，a_n-2=

1

2

（a_n-1+2）-2=

1

2

（a_n-1-2）
當(dāng)n=1時(shí)，a_n-2=a₁-2=-1
∴數(shù)列{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，公比q=

1

2

的等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（I）得a_n-2=-（

1

2

）^n-1，
∴a_n=2-（

1

2

）^n-1，可得S_n=2n-a_n=2n-2+（

1

2

）^n-1，
∴根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得
Tn=[0+(

1

2

)0]+[2+(

1

2

)]+…+[2n-2+(

1

2

)n-1]

=[0+2+…+(2n-2)]+[( 1 2 )0+( 1 2 )+…+( 1 2 )n-1] = n(2n-2) 2 + 1-( 1 2 )n 1- 1 2 =n2-n+2-( 1 2 )n-1

即數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n=n2-n+2-(

1

2

)n-1，（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出數(shù)列和線性規(guī)劃相綜合的問題，求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，著重考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．