Question

已知函數f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）證明函數f（x）是R上的增函數；
（2）求函數f（x）的值域；
（3）令g（x）=

x

f(x)

，判定函數g（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的值域,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）用定義法，先在定義域上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號．當自變量變化與函數值變化一致時，為增函數；當自變量變化與函數值變化相反時，為減函數．
（2）利用函數的單調性求函數的值域；
（3）用函數奇偶性的定義進行判斷．

解答： 解：（1）設x₁＜x₂∈R，f（x₁）-f（x₂）
=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，
∴2（2x1-2x2)＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函數；
（2）∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1，
f（x）的值域為（-1，1）；
（3）因為g（x）=

x

f(x)

=

x(2x+1)

2x-1

，
所以g（x）的定義域是{x|x≠0}，
g（-x）=

-x(2x+1)

2x-1

=

x(2x+1)

2x-1

=g（x），
函數g（x）為偶函數．

點評：本題主要考查函數奇偶性的判斷，一般用定義；還考查了證明函數的單調性，一般用定義和導數，用定義時，要注意變形到位，用導數時，要注意端點．