如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分別是BB1、AB、BC的中點.
(1)證明:D1F⊥EG;
(2)證明:D1F⊥平面AEG;
(3)求cos<
AE
,
D1B
考點:直線與平面垂直的判定,平面向量數(shù)量積的運算
專題:空間位置關系與距離,空間角
分析:(1)建立空間直角坐標系,以D為原點,DA、DC、DA1所在的直線分別為x、y、z軸,不妨取正方體AC1棱長為2,從而寫出
AE
=(0,2,1)
,
EG
=(-1,0,-1)
,計算
D1F
AE
=0
,從而得到D1F⊥AE;
(2)先寫出
AE
=(0,2,1)
,計算
D1F
AE
=0
,從而得到結果;
(3)直接根據向量的夾角公式進行計算即可.
解答: 解:以D為原點,DA、DC、DA1所在的直線分別為x、y、z軸,
建立空間直角坐標系,(如下圖示)
不妨取正方體AC1棱長為2,
則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),

D1(0,0,2),E(2,2,1),F(xiàn)(2,1,0),G(1,2,0).(4分)
(1)
D1F
=(2,1,-2)
,
EG
=(-1,0,-1)

D1F
EG
=0
,可見D1F⊥EG.…(7分)
(2)
AE
=(0,2,1)
,∴
D1F
AE
=0
,∴D1F⊥AE
∵EG∩AE=E,∴D1F⊥平面AEG.…(11分)
(3)由
AE
=(0,2,1)
D1B
=(2,2,-2)
,
cos<
AE
,
D1B
>=
AE
D1B
|
AE
|•|
D1B
|
=
0+4-2
5
•2
3
=
15
15
.…(15分)
點評:本題重點考查了空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、空間直角坐標系的構成和建立、空間向量的基本運算等知識,屬于中檔題.
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(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),g(x)為非奇非偶函數(shù),試用反證法證明函數(shù)J(x)為非奇非偶函數(shù);若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),g(x)為非奇非偶函數(shù),則請分別寫出關于函數(shù)J(x)的奇偶性的相應結論;
(3)若f(x),g(x)都是非奇非偶函數(shù),則函數(shù)J(x)的奇偶性能否確定?請寫出相應的結論并證明;若不能,請分別舉例說明各種可能的情況.

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