考點:直線與平面垂直的判定,平面向量數(shù)量積的運算
專題:空間位置關系與距離,空間角
分析:(1)建立空間直角坐標系,以D為原點,DA、DC、DA
1所在的直線分別為x、y、z軸,不妨取正方體AC
1棱長為2,從而寫出
=(0,2,1),
=(-1,0,-1),計算
•=0,從而得到D
1F⊥AE;
(2)先寫出
=(0,2,1),計算
•=0,從而得到結果;
(3)直接根據向量的夾角公式進行計算即可.
解答:
解:以D為原點,DA、DC、DA
1所在的直線分別為x、y、z軸,
建立空間直角坐標系,(如下圖示)
不妨取正方體AC
1棱長為2,
則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
D
1(0,0,2),E(2,2,1),F(xiàn)(2,1,0),G(1,2,0).(4分)
(1)
=(2,1,-2),
=(-1,0,-1),
∴
•=0,可見D
1F⊥EG.…(7分)
(2)
=(0,2,1),∴
•=0,∴D
1F⊥AE
∵EG∩AE=E,∴D
1F⊥平面AEG.…(11分)
(3)由
=(0,2,1),
=(2,2,-2),
∴
cos<,>===.…(15分)
點評:本題重點考查了空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、空間直角坐標系的構成和建立、空間向量的基本運算等知識,屬于中檔題.