Question

9．設二次函數(shù)f（x）=-x²+2ax+b，集合A={x|x²+x=0}，集合B={x|f（x）=5}，已知A∩B={0}．
（1）求b的值；
（2）求此二次函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用集合A={x|x²+x=0}，集合B={x|f（x）=5}，A∩B={0}．求b的值；
（2）分類討論，利用對稱軸與區(qū)間的位置關系，求此二次函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值．

解答 解：（1）∵A={0，-1}，A∩B={0}，
∴0∈B，
∴f（0）=b=5
由f（-1）≠5，得a≠-$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可得f（x）=-x²+2ax+5，對稱軸為x=a．
①a≤-2，f（x）在[-2，4]上為減函數(shù)，
∴x=-2時，f（x）_max=-4a+1；
①-2＜a＜4且a≠-$\frac{1}{2}$，x=a時，f（x）_max=a²+5；
③a≥4時，f（x）在[-2，4]上為增函數(shù)，
∴x=4時，f（x）_max=8a-11，
綜上所述，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{-4a+1，a≤-2}\\{{a}^{2}+5，-2＜a＜4且a≠-\frac{1}{2}}\\{8a-11，a≥4}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬中檔題．