Question

14．已知拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的準線過橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點，橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．

Answer 1

分析 由拋物線方程求出其準線方程，得到橢圓的焦點坐標，結合已知及隱含條件列式求得a，b的值，則橢圓方程可求．

解答 解：由拋物線y²=4$\sqrt{3}$x，得2p=$4\sqrt{3}$，p=$2\sqrt{3}$，
∵拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的準線過橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點，
∴橢圓的一個焦點坐標為（$-\sqrt{3}$，0），即c=$\sqrt{3}$．
又橢圓的長軸長是短軸長的2倍，即a=2b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{a=2b}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴橢圓的方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．

點評 本題考查橢圓與拋物線的簡單性質，考查了橢圓方程的求法，注意隱含條件的應用，是基礎題．