Question

15．已知拋物線x²=2py （p＞0），其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為1．過F作拋物線的兩條弦AB和CD（點(diǎn)A、C在第一象限），且M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．
（1）若AB⊥CD，求△FMN面積的最小值；
（2）設(shè)直線AC的斜率為k_AC，直線BD的斜率為k_BD，且k_AC+4k_BD=0，求證：直線AC過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求出M，N的坐標(biāo)，可得S_△FMN=$\frac{1}{2}$|FM|•|FN|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{k^2}+{k^4}}\sqrt{\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2+{k^2}+\frac{1}{k^2}}$，利用基本不等式求△FMN面積的最小值；
（2）利用k_AC+4k_BD=0，得出x₁x₃=4，可得直線AC的方程，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：（1）拋物線的方程為x²=2y，設(shè)AB的方程為y=kx+$\frac{1}{2}$
聯(lián)立拋物線方程，得x²-2kx-1=0，$M（{k，{k^2}+\frac{1}{2}}）$，同理$N（{-\frac{1}{k}，\frac{1}{k^2}+\frac{1}{2}}）$
∴S_△FMN=$\frac{1}{2}$|FM|•|FN|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{k^2}+{k^4}}\sqrt{\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2+{k^2}+\frac{1}{k^2}}$≥1
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時，△FMN的面積取最小值1．…（5分）
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
設(shè)AB的方程為y=kx+$\frac{1}{2}$，聯(lián)立拋物線方程，得x²-2kx-1=0，∴x₁x₂=-1，
同理，x₃x₄=-1 …（7分）
故k_AC+4k_BD=$\frac{{{y_1}-{y_3}}}{{{x_1}-{x_3}}}+4•\frac{{{y_2}-{y_4}}}{{{x_2}-{x_4}}}=\frac{{\frac{1}{2}（{x_1^2-x_3^2}）}}{{{x_1}-{x_3}}}+4•\frac{{\frac{1}{2}（{x_2^2-x_4^2}）}}{{{x_2}-{x_4}}}$
=$\frac{1}{2}（{{x_1}+{x_3}}）+2•（{{x_2}+{x_4}}）$=$\frac{1}{2}（{{x_1}+{x_3}}）-2•（{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_3}}）=（{{x_1}+{x_3}}）（{\frac{1}{2}-\frac{1}{{{x_1}{x_3}}}}）=0$
注意到點(diǎn)A、C在第一象限，x₁+x₃≠0，故得x₁x₃=4，…（10分）
直線AC的方程為$y-\frac{{{x_1}^2}}{2}=\frac{{{x_1}+{x_3}}}{2}（{x-{x_1}}）$，
化簡得$y=\frac{{{x_1}+{x_3}}}{2}x-\frac{{{x_1}{x_3}}}{2}$即$y=\frac{{{x_1}+{x_3}}}{2}x-2$
所以，直線AC恒經(jīng)過點(diǎn)（0，-2）…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形的面積的計算，考查直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題．