Question

5．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線x+y-1=0對稱，則橢圓C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{8{x^2}}}{9}+\frac{{16{y^2}}}{9}=1$
• B． $\frac{{9{x^2}}}{8}+\frac{{16{y^2}}}{9}=1$
• C． $\frac{{8{x^2}}}{9}+\frac{{9{y^2}}}{16}=1$
• D． $\frac{{9{x^2}}}{8}+\frac{{9{y^2}}}{16}=1$

Answer 1

分析 由橢圓的離心率，求得b=c，則橢圓的標準方程轉化成x²+2y²=2b²，求得右焦點關于直線x+y-1=0對稱的點，代入橢圓方程，即可求得b和a的值，求得橢圓方程．

解答 解：由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，
由b²=a²-c²=c²，則b=c，
則設橢圓方程為x²+2y²=2b²，
∴右焦點（b，0）關于l：y=-x+1的對稱點設為（x′，y′），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y′}{x′-b}=1}\\{\frac{y′}{2}=-\frac{x′+b}{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x′=1}\\{y′=1-b}\end{array}\right.$，
由點（1，1-b）在橢圓上，得1+2（1-b）²=2b²，b²=$\frac{9}{16}$，a²=$\frac{9}{8}$，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{8{x}^{2}}{9}+\frac{{16y}^{2}}{9}=1$，
故選：A．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查點關于直線對稱的求法，考查計算能力，屬于中檔題．