Question

3．已知函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4-x），且當(dāng)x≠2時(shí)，其導(dǎo)數(shù)f'（x）滿足xf'（x）＞2f'（x），若2＜a＜4，則（　　）

• A． $f（{2^x}）＜f（\frac{lna}{a}）＜f[{（\frac{lna}{a}）^2}]$
• B． $f（\frac{lna}{a}）＜f[{（\frac{lna}{a}）^2}]＜f（{2^x}）$
• C． $f（\frac{lna}{a}）＜f（{2^x}）＜f[{（\frac{lna}{a}）^2}]$
• D． $f（{2^x}）＜f[{（\frac{lna}{a}）^2}]＜f（\frac{lna}{a}）$

Answer 1

分析 由f（x）=f（4-x），可知函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=2對稱，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（-∞，2）與（2，+∞）上的單調(diào)性，從而可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）對定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4-x），
∴f（x）關(guān)于直線x=2對稱；
又當(dāng)x≠2時(shí)其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x-2）＞0，
∴當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞增；
同理可得，當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）在（-∞，2）單調(diào)遞減；
∵2＜a＜4，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，x∈（2，4），則g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：x＜e，
故g（x）在（2，e）遞減，在（e，4）遞增，
故g（x）的最大值是g（2）=g（4）=$\frac{ln2}{2}$，最小值是g（e）=$\frac{1}{e}$；
令h（x）=${（\frac{lnx}{x}）}^{2}$，則h′（x）=$\frac{2lnx（1-lnx）}{{x}^{3}}$，
故h（x）在（2，e）遞增，在（e，4）遞減，
故h（x）的最小值是h（2）=h（4）=${（\frac{ln2}{2}）}^{2}$，h（x）的最大值是h（e）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故2＞$\frac{ln2}{2}$＞$\frac{lna}{a}$＞${（\frac{lna}{a}）}^{2}$＞${（\frac{ln2}{2}）}^{2}$，
∴f（$\frac{lna}{a}$）＜f${（\frac{lna}{a}）}^{2}$，
而2^x＞4，故f（2^x）＞f（0），
∴f（$\frac{lna}{a}$）＜f${（\frac{lna}{a}）}^{2}$＜f（2^x），
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，判斷f（x）在（-∞，2）與（2，+∞）上的單調(diào)性是關(guān)鍵，屬于中檔題．