Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₃=9，a₈=29．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）記數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，求T₁₀₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)與公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出T₁₀₀的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₃=9，a₈=29，
∴

a1+2d=9 a1+7d=29

，
解得a₁=1，d=4，
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
S_n=n+

n(n-1)

2

×4=2n²-n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，
∴T_n=

1

4

（1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

）
=

1

4

（1-

1

4n+1

），
∴T₁₀₀=

1

4

(1-

1

401

)=

100

401

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查數(shù)列的前100項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．