Question

15．已知P是橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1上的任一點(diǎn)，Q是與橢圓C共焦點(diǎn)且實(shí)軸長為1的雙曲線上的任一點(diǎn)，從焦點(diǎn)F₁引∠F₁QF₂的角平分線的垂線，垂足為M，則P，M兩點(diǎn)間的最大距離為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 點(diǎn)F₁關(guān)于∠F₁QF₂的角平分線QM的對稱點(diǎn)N在直線F₂Q上，故|F₂N|=|QF₂|+|QF₁|=1，又OM是△F₂F₁N的中位線，故|OM|=$\frac{1}{2}$，由此可以判斷出點(diǎn)M的軌跡，進(jìn)而可求P，M兩點(diǎn)間的最大距離．

解答 解：如圖，由橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．

∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)也為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
點(diǎn)F₁關(guān)于∠F₁QF₂的角平分線QM的對稱點(diǎn)N在直線F₂PQ上，
故|F₂N|=|QF₂|+|QF₁|=1，
又OM是△F₂F₁N的中位線，故|OM|=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，$\frac{1}{2}$為半徑的圓，
∴P是橢圓長軸的一個端點(diǎn)時，P，M兩點(diǎn)間的距離最大，最大值為$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題給出橢圓上動點(diǎn)P，求點(diǎn)M的軌跡方程，著重考查了橢圓、雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)，以及等腰三角形“三線合一”等知識，屬于中檔題．