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9.已知向量a=(1,sinx),=(cos(2x+\frac{π}{3}),sinx),函數(shù)f(x)=\overrightarrow{a}\overrightarrow-\frac{1}{2}cos2x.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及在[0,2π]的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0,\frac{π}{3}]時,求函數(shù)f(x)的值域.

分析 (1)根據(jù)向量的數(shù)量積公式和兩角和與差的正弦和余弦公式,以及二倍角公式,化簡即可求出函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案,
(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域.

解答 解:(1)∵向量\overrightarrow{a}=(1,sinx),\overrightarrow=(cos(2x+\frac{π}{3}),sinx),
∴函數(shù)f(x)=\overrightarrow{a}\overrightarrow-\frac{1}{2}cos2x=cos(2x+\frac{π}{3})+sin2x-\frac{1}{2}cos2x=\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}(1-cos2x)-\frac{1}{2}cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=sin(2x-\frac{π}{6})+\frac{1}{2},
由-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}\frac{π}{2}+2kπ,k∈Z,
得:-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ,k∈Z,
即f(x)在區(qū)間[-\frac{π}{6}+kπ,\frac{π}{3}+kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增,
又x∈[0,2π],
∴f(x)在[0,\frac{π}{3}],[\frac{5π}{6},\frac{4π}{3}]上單調(diào)遞增;
(2)由(1)可知,f(x)在[0,\frac{π}{3}]上單調(diào)遞增,
∴f(0)=sin(-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}=0,
f(\frac{π}{3})=sin(\frac{2π}{3}-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},
∴當(dāng)x∈[0,\frac{π}{3}]時,函數(shù)f(x)的值域為[0,\frac{3}{2}].

點評 本題考查了向量的數(shù)量積公式和兩角和與差的正弦和余弦公式,以及二倍角公式,和正弦函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.

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