Question

4．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點為M，又PA=AB=4，AD=CD，∠CDA=120°，點N是CD的中點．
（1）求證：平面PMN⊥平面PAB；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理先證明MN⊥平面PAB即可證明平面PMN⊥平面PAB；
（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵△ABC是正三角形，AB=BC，
在△ACD中，AD=CD，則△ABD≌△CDB，
∴M為AC的中點，
∵點N是CD的中點，∴MN∥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．
∵∠CDA=120°，∴，∠DAC=30°，
∵∠BAC=60°，∴∠BAD=90°，即AB⊥AD，
又PA∩AC=A，∴AD⊥平面PAB．
∴MN⊥平面PAB．
∵MN?平面PMN，
∴平面PMN⊥平面PAB．
（2）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標系，
∴B（4，0，0），C$（2，2\sqrt{3}，0）$，$D（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）$，P（0，0，4）．
由（1）可知，$\overrightarrow{DB}=（4，-\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）$為平面PAC的法向量．
$\overrightarrow{PC}=（2，2\sqrt{3}，-4）$，$\overrightarrow{PB}=（4，0，-4）$．
設(shè)平面PBC的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2\sqrt{3}y-4z=0}\\{4x-4z=0}\end{array}\right.$，
令z=3，得x=3，$y=\sqrt{3}$，則平面PBC的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（3，\sqrt{3}，3）$，
設(shè)二面角A-PC-B的大小為θ，則$cosθ=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{n}|\;|\overrightarrow{DB}|}=\frac{\sqrt{7}}{7}$．
由題意值二面角A-PC-B是銳二面角，
則二面角A-PC-B余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題主要考查空間面面垂直的判斷以及二面角的求解，建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運算和推理能力．