分析 (1)根據(jù)面面垂直的判定定理先證明MN⊥平面PAB即可證明平面PMN⊥平面PAB;
(2)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值.
解答 證明:(1)∵△ABC是正三角形,AB=BC,
在△ACD中,AD=CD,則△ABD≌△CDB,
∴M為AC的中點(diǎn),
∵點(diǎn)N是CD的中點(diǎn),∴MN∥AD,
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.
∵∠CDA=120°,∴,∠DAC=30°,
∵∠BAC=60°,∴∠BAD=90°,即AB⊥AD,
又PA∩AC=A,∴AD⊥平面PAB.
∴MN⊥平面PAB.
∵M(jìn)N?平面PMN,
∴平面PMN⊥平面PAB.
(2)∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,
∴AB⊥AD,分別以AB,AD,AP為x軸,y軸,z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,
∴B(4,0,0),C(2,2√3,0),D(0,4√33,0),P(0,0,4).
由(1)可知,→DB=(4,−4√33,0)為平面PAC的法向量.
→PC=(2,2√3,−4),→PB=(4,0,−4).
設(shè)平面PBC的一個法向量為→n=(x,y,z),
則{→n•→PC=0→n•→PB=0,即{2x+2√3y−4z=04x−4z=0,
令z=3,得x=3,y=√3,則平面PBC的一個法向量為→n=(3,√3,3),
設(shè)二面角A-PC-B的大小為θ,則cosθ=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{n}|\;|\overrightarrow{DB}|}=\frac{\sqrt{7}}{7}.
由題意值二面角A-PC-B是銳二面角,
則二面角A-PC-B余弦值為\frac{\sqrt{7}}{7}.
點(diǎn)評 本題主要考查空間面面垂直的判斷以及二面角的求解,建立坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 假設(shè)n=k(k∈N*)時命題成立 | B. | 假設(shè)n≥k(k∈N*)時命題成立 | ||
C. | 假設(shè)n=2k(k∈N*)時命題成立 | D. | 假設(shè)n=2(k+1)(k∈N*)時命題成立 |
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A. | 3π | B. | \frac{15π}{4} | C. | \frac{3\sqrt{3}π}{4} | D. | 6π |
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A. | 24種 | B. | 9種 | C. | 3種 | D. | 26種 |
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