Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為T(mén)_n，a_n+1=2T_n+1（n≥1），a₁=1；等差數(shù)列{b_n}中，且{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b₁=3，a₃+S₃=27．
（1）求{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足c_n=$\frac{3}{_{n+1}lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$，求{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=2T_n+1（n≥1），n≥2時(shí)，a_n=2T_n-1+1，相減可得：a_n+1=3a_n，驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，由b₁=3，a₃+S₃=27，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出b_n．
（2）c_n=$\frac{3}{_{n+1}lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{3（n+1）•n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=2T_n+1（n≥1），
∴n≥2時(shí)，a_n=2T_n-1+1，相減可得：a_n+1-a_n=2a_n，化為：a_n+1=3a_n，
n=1時(shí)，a₂=2a₁+1=3=3a₁，因此上式也成立．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為3．
∴a_n=3^n-1．
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，∵b₁=3，a₃+S₃=27，
∴3²+3×3+$\frac{3×2}{2}d$=27，解得d=3．
∴b_n=3+3（n-1）=3n．
（2）c_n=$\frac{3}{_{n+1}lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{3（n+1）•n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴{c_n}的前n項(xiàng)和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．