Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=-2，a_n+1=2a_n+4．
（ I）求證{a_n+4}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（ II）求數(shù)列{a_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a_n+1=2a_n+4，變形為a_n+1+4=2（a_n+4），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（ II）由（Ⅰ）可知，${a_n}={2^n}-4$，利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）證明：a_n+1=2a_n+4，變形為a_n+1+4=2（a_n+4）．--------------（2分）
又∵a₁=-2，∴a₁+4=2∴數(shù)列{a_n+4}為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列--------------（4分）∴${a_n}+4={2^n}，{a_n}={2^n}-4$-------------（6分）
（ II）由（Ⅰ）可知，${a_n}={2^n}-4$
∴S_n=2+2²+…+2ⁿ-4n，------------------------（9分）
=$\frac{{2（{1-{2^n}}）}}{1-2}-4n={2^{n+1}}-4n-2$------------------------（12分）

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．