Question

5．如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為1的正方體，任作平面α與對角線AC₁垂直，使得α與正方體的每個面都有公共點，這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l的范圍分別是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$]、{3$\sqrt{2}$}（用集合表示）

Answer 1

分析 由線面垂直的性質(zhì)可知截面多邊形的邊與所在正方形的對角線平行，利用相似比即可得出截面周長為定值，再根據(jù)對稱性和基本不等式得出面積的最值．

解答 解：連結(jié)A₁B，A₁D，BD，則AC₁⊥平面A₁BD，
∴AC₁⊥A₁B
設(shè)平面α與平面ABB₁A₁的交線為EF，
則AC₁⊥EF，
∴EF∥A₁B，
同理可得平面α與其他各面的交線都與此平面的對角線平行，
設(shè)$\frac{EF}{{A}_{1}B}$=λ，則$\frac{{B}_{1}E}{{A}_{1}{B}_{1}}$=B₁E=λ，∴$\frac{DE}{{B}_{1}{D}_{1}}$=1-λ，
∴EF+DE=$\sqrt{2}$λ+$\sqrt{2}$（1-λ）=$\sqrt{2}$，
同理可得六邊形其他相鄰兩邊的和為$\sqrt{2}$，
∴六邊形的周長l為定值3$\sqrt{2}$．
∴當六邊形的邊長相等即截面為正六邊形時，截面面積最大，
最大面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}×6$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
當截面為正三角形時，截面面積最小，
最小面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{3\sqrt{3}}}{4}]$，$\{3\sqrt{2}\}$．

點評 本題考查了利用平面幾何的知識解決立體幾何，考查學生的空間想象能力，屬于難題．