Question

3．若曲線y=lnx+ax²-2x（a為常數(shù)）不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可知y′≥0在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)得a≥$\frac{1}{x}-\frac{1}{2{x}^{2}}=\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$，求出右側(cè)函數(shù)的最大值即可得出a的范圍．

解答 解：y′=$\frac{1}{x}+2ax-2$，x∈（0，+∞），
∵曲線y=lnx+ax²-2x（a為常數(shù)）不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，
∴y′=$\frac{1}{x}+2ax-2$≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}-\frac{1}{2{x}^{2}}=\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$恒成立，x∈（0，+∞）．
令f（x）=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），則f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{3}}$，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$取得最大值f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a$≥\frac{1}{2}$．
故答案為[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．