Question

8．某種多面體玩具共有12個(gè)面，在其十二個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，…，12．若該玩具質(zhì)地均勻，則拋擲該玩具后，任何一個(gè)數(shù)字所在的面朝上的概率均相等．拋擲該玩具一次，記事件A=“向上的面標(biāo)記的數(shù)字是完全平方數(shù)（記能寫出整數(shù)的平方形式的數(shù)，如9=3²，9是完全平方數(shù)）”
（1）甲、乙二人利用該玩具進(jìn)行游戲，并規(guī)定：
①甲拋擲一次，若事件A發(fā)生，則向上一面的點(diǎn)數(shù)的6倍為甲的得分；若事件A不發(fā)生，則甲得0分；②乙拋擲一次，將向上的一面對(duì)應(yīng)的數(shù)字作為乙的得分；
（�。� 甲、乙二人各拋擲該玩具一次，求二人得分的期望；
（ⅱ）甲、乙二人各拋擲該玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；
（2）拋擲該玩具一次，記事件B=“向上一面的點(diǎn)數(shù)不超過k（1≤k≤12）”，若事件A與B相互獨(dú)立，試求出所有的整數(shù)k．

Answer 1

分析 （1）（i）設(shè)甲、乙二人拋擲該玩具后，得分分別為X，Y，X的可能取值為6，24，54，0，分別求出相應(yīng)的概率，從而能求出甲得分的期望；Y的可能取值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
且P（Y=i）=$\frac{1}{12}$，i=1，2，3，…，12．由此能求出乙得分的期望．
（ii）甲、乙二人各拋擲該玩具一次，甲的得分不低于乙的概率為：P=P（X=6，1≤Y≤6）+P（X=24）+P（X=54），由此能求出結(jié)果．
（2）拋擲玩具一次，基本事件總數(shù)共有12個(gè)，則事件A包含3個(gè)基本事件，推導(dǎo)出B事件包含的基本事件數(shù)必為4的倍數(shù)，即k∈{4，8，12}，由此進(jìn)行分類討論經(jīng)，能求出k的所有值．

解答 解：（1）（i）設(shè)甲、乙二人拋擲該玩具后，得分分別為X，Y，
則X的可能取值為6，24，54，0，
當(dāng)X=6時(shí)，向上的點(diǎn)數(shù)為1，P（X=6）=$\frac{1}{12}$，
當(dāng)X=24時(shí)，向上的點(diǎn)數(shù)為4，P（X=24）=$\frac{1}{12}$，
當(dāng)X=54時(shí)，向上的點(diǎn)數(shù)為9，P（X=54）=$\frac{1}{12}$，
當(dāng)X=0時(shí)，向上的點(diǎn)數(shù)為4²，5²，…，12²，有種情況，P（X=0）=$\frac{9}{12}$，
∴X的分布列為：

X	6	24	54	0
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{9}{12}$

∴甲得分的期望為E（X）=$6×\frac{1}{12}+24×\frac{1}{12}+54×\frac{1}{12}+0×\frac{9}{12}$=7．
Y的可能取值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
且P（Y=i）=$\frac{1}{12}$，i=1，2，3，…，12．
∴Y的分布列為：

Y	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$

∴乙得分的期望為E（Y）=$\frac{1}{12}$（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）=$\frac{13}{2}$．
（ii）甲、乙二人各拋擲該玩具一次，甲的得分不低于乙的概率為：
P=P（X=6，1≤Y≤6）+P（X=24）+P（X=54）=$\frac{1}{12}×\frac{6}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}$=$\frac{5}{24}$．
（2）拋擲玩具一次，基本事件總數(shù)共有12個(gè)，
記事件A=“向上的面標(biāo)記的數(shù)字是完全平方數(shù)（記能寫出整數(shù)的平方形式的數(shù)，如9=3²，9是完全平方數(shù)）”
記事件B=“向上一面的點(diǎn)數(shù)不超過k（1≤k≤12）”，
則事件A包含3個(gè)基本事件，（1點(diǎn)，4點(diǎn)，9點(diǎn)），
記n（AB），n（B）分別表示事件AB，B包含的基本事件個(gè)數(shù)，
由P（AB）=P（A）P（B）及古典概率模型，得：
$\frac{n（AB）}{12}$=$\frac{3}{12}$•$\frac{n（B）}{12}$，∴n（B）=4n（AB），①
∴B事件包含的基本事件數(shù)必為4的倍數(shù)，即k∈{4，8，12}，
當(dāng)k=4時(shí)，n（B）=4，AB={1，4}，n（AB）=2，不符合①，
當(dāng)k=8時(shí)，n（B）=8，AB={1，4}，n（AB）=2，符合①，
當(dāng)k=12時(shí)，n（B）=12，AB={1，4，9}，n（AB）=3，符合①，
故k的所有值為8或12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的求法，考查滿足條件的整數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意古典概率模型的合理運(yùn)用．