Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+1-a，（ a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上至少有一個零點，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)y=f（x）在R上至少有一個零點可化為方程x²+2ax+1-a=0至少有一個實數(shù)根，從而求得；
（2）函數(shù)f（x）=x²+2ax+1-a，對稱軸方程為x=-a；從而討論對稱軸以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值，從而解得．

解答： 解：（1）因為函數(shù)y=f（x）在R上至少有一個零點，
所以方程x²+2ax+1-a=0至少有一個實數(shù)根，
所以△=2a×2a-4（1-a）≥0，
得a＜

-1- 5

2

或a＞

-1+ 5

2

；
（2）函數(shù)f（x）=x²+2ax+1-a，對稱軸方程為x=-a．
①當(dāng)-a＜0，即a＞0時，f（x）_min=f（0）=1-a，
∴1-a=-2，∴a=3；
②當(dāng)0≤-a≤1，即-1≤a≤0時，
f（x）_min=f（-a）=-a²-a+1，
∴-a²-a+1=-2，
∴a=

-1± 13

2

（舍）；
③當(dāng)-a＞1，即a＜-1時，
f（x）_min=f（1）=2+a，
∴2+a=-2，∴a=-4；
綜上可知，a=-4或a=3．

點評：本題考查了二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系應(yīng)用及分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．