Question

1．若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足|b+a²-4lna|+|2c-d+2|=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為5．

Answer 1

分析 由|b+a²-4lna|+|2c-d+2|=0，可得b=4lna-a²，d=2c+2．分別令y=f（x）=4lnx-x²，y=g（x）=2x+2，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x）的點(diǎn)之間的距離的最小值．設(shè)與直線y=2x+2平行且與曲線f（x）相切的切點(diǎn)為P（x₀，y₀），求出切點(diǎn)P到直線y=2x+2的距離d，則（a-c）²+（b-d）²的最小值=d²．

解答 解：∵|b+a²-4lna|+|2c-d+2|=0，∴b=4lna-a²，d=2c+2，
分別令y=f（x）=4lnx-x²，y=g（x）=2x+2，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x）的點(diǎn)之間的距離的最小值，
f′（x）=$\frac{4}{x}$-2x，設(shè)與直線y=2x+2平行且與曲線f（x）相切的切點(diǎn)為P（x₀，y₀），
則$\frac{4}{{x}_{0}}$-2x₀=2，x₀＞0，解得x₀=1，可得切點(diǎn)P（1，-1），
切點(diǎn)P（1，-1）到直線y=2x+2的距離d=$\frac{|2+1+2|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值=d²=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線、平行線之間的斜率關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．