【題目】如圖，圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，點是圓弧上的一動點（不與重合），點是圓弧的中點，且點在平面的兩側(cè).

（1）證明：平面平面；

（2）設(shè)點在平面上的射影為點，點分別是和的重心，當(dāng)三棱錐體積最大時，回答下列問題.

（�。┳C明：平面；

（ⅱ）求平面與平面所成二面角的正弦值.

【答案】（1）見解析（2）（�。┮娊馕觯áⅲ�

【解析】

（1）證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，再利用面面垂直的判定定理證明即可；

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，點為圓弧的中點，所以點為圓弧的中點，所以四邊形為正方形，且平面.（ⅰ）連接并延長交于點，連接并延長交于點，連接，則，再由線面平行的判定定理證得結(jié)論；（ⅱ）由平面垂直，所以以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，求兩向量夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的正弦值.

（1）因為是軸截面，所以平面，所以，

又點是圓弧上的一動點（不與重合），且為直徑，所以，

又平面平面，所以平面，而平面，故平面平面.

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，點為圓弧的中點，所以點為圓弧的中點，所以四邊形為正方形，且平面.

（ⅰ）連接并延長交于點，連接并延長交于點，連接，則，

因為分別為兩個三角形的重心，∴，

所以，又平面平面，所以平面.

（ⅱ）平面垂直，所以以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，設(shè)平面的法向量，則即可取，

又平面的法向量，

所以，所以.

所以平面與平面所成二面角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若且有兩個零點，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知A，B兩鎮(zhèn)分別位于東西湖岸MN的A處和湖中小島的B處，點C在A的正西方向1 km處，tan∠BAN＝，∠BCN＝，.現(xiàn)計劃鋪設(shè)一條電纜連通A，B兩鎮(zhèn)，有兩種鋪設(shè)方案：①沿線段AB在水下鋪設(shè)；②在湖岸MN上選一點P，先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段PB在水下鋪設(shè)，預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費用分別為2萬元km、4萬元km.

（1）求A，B兩鎮(zhèn)間的距離；

（2）應(yīng)該如何鋪設(shè)，使總鋪設(shè)費用最低？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點焦點在x軸上，橢圓C上一點A（2，﹣1）到兩焦點距離之和為8.若點B是橢圓C的上頂點，點P，Q是橢圓C上異于點B的任意兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若BP⊥BQ，且滿足32的點D在y軸上，求直線BP的方程；

（3）若直線BP與BQ的斜率乘積為常數(shù)λ（λ＜0），試判斷直線PQ是否經(jīng)過定點.若經(jīng)過定點，請求出定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的長軸長為，焦距為2，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的左焦點.

（1）求橢圓與拋物線的方程；

（2）直線經(jīng)過橢圓的上頂點且與拋物線交于，兩點，直線，與拋物線分別交于點（異于點），（異于點），證明：直線的斜率為定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，若方程有兩個不等實數(shù)根，，求實數(shù)的取值范圍，并證明.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了研究不同性別在處理多任務(wù)時的表現(xiàn)差異，召集了男女志愿者各200名，要求他們同時完成多個任務(wù)，包括解題、讀地圖、接電話.下圖表示了志愿者完成任務(wù)所需的時間分布.以下結(jié)論，對志愿者完成任務(wù)所需的時間分布圖表理解正確的是（ ）

①總體看女性處理多任務(wù)平均用時更短；

②所有女性處理多任務(wù)的能力都要優(yōu)于男性；

③男性的時間分布更接近正態(tài)分布；

④女性處理多任務(wù)的用時為正數(shù)，男性處理多任務(wù)的用時為負(fù)數(shù).

A.①④B.②③C.①③D.②④

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某縣一中學(xué)的同學(xué)為了解本縣成年人的交通安全意識情況，利用假期進(jìn)行了一次全縣成年人安全知識抽樣調(diào)查.已知該縣成年人中的擁有駕駛證，先根據(jù)是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了100名成年人，然后對這100人進(jìn)行問卷調(diào)查，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如下圖所示.規(guī)定分?jǐn)?shù)在80以上（含80）的為“安全意識優(yōu)秀”.

擁有駕駛證

沒有駕駛證

合計

得分優(yōu)秀

得分不優(yōu)秀

25

合計

100

（1）補(bǔ)全上面的列聯(lián)表，并判斷能否有超過的把握認(rèn)為“安全意識優(yōu)秀與是否擁有駕駛證”有關(guān)？

（2）若規(guī)定參加調(diào)查的100人中分?jǐn)?shù)在70以上（含70）的為“安全意識優(yōu)良”，從參加調(diào)查的100人中根據(jù)安全意識是否優(yōu)良，按分層抽樣的方法抽出5人，再從5人中隨機(jī)抽取3人，試求抽取的3人中恰有一人為“安全意識優(yōu)良”的概率.

附表及公式：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線l過點，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出直線的參數(shù)方程（為常數(shù)）和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與交于，兩點，且，求傾斜角的值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案