Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若且有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）

【解析】

（1）求定義域以及導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，求解對應(yīng)情況下的單調(diào)性即可；

（2）由（1）中所得，可知的解析式，根據(jù)的單調(diào)性，將零點問題轉(zhuǎn)化為圖像相交的問題，數(shù)形結(jié)合，求解參數(shù)范圍.

（1）的定義域為，，

，

對于，，

當(dāng)時，，

則在上是增函數(shù).

當(dāng)時，

對于，有，則在上是增函數(shù).

當(dāng)時，

令，得或，

令，得，

所以在，上是增函數(shù)，

在上是減函數(shù).

綜上，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時，在，上是增函數(shù)，

在上是減函數(shù).

（2）由已知可得，

因為，所以，而，所以，

所以，所以在上單調(diào)遞增.

所以.

故有兩個零點，等價于

=在內(nèi)有兩個零點.

等價于有兩根，

顯然不是方程的根，

因此原方程可化為，

設(shè)，，

由解得，或

由解得，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

其圖像如下所示：

所以，

所以，

所以.