Question

6．已知直線l的方程為mx-y+1-m=0，圓C的方程為x²+（y-1）²=5．
（1）證明：直線l與圓C相交；
（2）已知D（-2，0），E（2，0）為x軸上的兩點，若圓C內(nèi)的動點P使|PD|，|PO|，|PE|成等比數(shù)列，求$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用直線系方程求出直線所過定點，判斷定點在圓C內(nèi)看到直線l與圓C相交；
（2）設(shè)P（x，y），由|PD|，|PO|，|PE|成等比數(shù)列，得到x²-y²=2，寫出$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1），結(jié)合點P在圓C內(nèi)，得到關(guān)于y的不等式，求解不等式得到y(tǒng)的范圍，進(jìn)一步求得$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范圍．

解答 （1）證明：由mx-y+1-m=0，得y=（m-1）x+1，
∴直線l必過定點G（1，1），
又1²+（1-1）²＜5，∴點G在圓C內(nèi)部，
∴直線l與圓C相交；
（2）解：設(shè)P（x，y），由|PD|，|PO|，|PE|成等比數(shù)列，
得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}={x}^{2}+{y}^{2}$，即x²-y²=2，
∴$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1）．
由于點P在圓C內(nèi)，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-1）^{2}＜5}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$．
由此得y²-y-1＜0，解得：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜y＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故$0≤{y}^{2}＜（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．
∴$2（{y}^{2}-1）∈[-2，1+\sqrt{5}）$．
∴$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范圍是$[-2，1+\sqrt{5}）$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查推理論證能力及運算能力，是中檔題．