Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2S_n=3a_n-4n+3
（1）用a_n表示a_n+1；
（2）設(shè)b_n=a_n+2，證明{b_n}成等比數(shù)列；
（3）設(shè)cn=lo

g

b2n-1 3

，對(duì)任意給定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*（k＜p＜r）使

1

ck

，

1

cp

，

1

cr

成等差數(shù)列？若存在，用k分別表示p和r（只需要求出一組即可）；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=n+1得另一遞推式，作差后可用a_n表示a_n+1；
（2）求出數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)，然后把已知的數(shù)列遞推式變形可得{b_n}成等比數(shù)列；
（3）由（2）知，bn=3n，得到cn=lo

g

32n-1 3

=2n-1，然后分k=1和k≥2再由

1

ck

，

1

cp

，

1

cr

成等差數(shù)列討論分析．

解答： （1）解：∵2S_n=3a_n-4n+3  ①，
∴2S_n+1=3a_n+1-4（n+1）+3 ②，
②-①，得2a_n+1=3a_n+1-3a_n-4，
∴a_n+1=3a_n+4；
（2）證明：a_n+1+2=3（a_n+2），∴b_n+1=3b_n，
在①中令n=1求出a₁=1，
∴b₁=a₁+2=3≠0，
進(jìn)而推出b_n≠0，
∴

bn+1

bn

=3，
∴{b_n}成等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3；
（3）解：由（2）知，bn=3n，∴cn=lo

g

32n-1 3

=2n-1，
當(dāng)k=1時(shí)，若存在p，r使

1

ck

，

1

cp

，

1

cr

成等差數(shù)列，則

1

cr

=

2

cp

-

1

ck

=

3-2p

2p-1

，
∵p≥2，∴c_r＜0，與數(shù)列{c_n}各項(xiàng)為正數(shù)矛盾，
∴當(dāng)k=1時(shí)不存在；
當(dāng)k≥2時(shí)，設(shè)c_k=x，c_p=y，c_r=z，則

1

x

+

1

z

=

2

y

，
∴z=

xy

2x-y

，
令y=2x-1，得z=xy=x（2x-1），
此時(shí)c_k=x=2k-1，c_p=y=2x-1=2（2k-1）-1，
∴p=2k-1，cr=z=(2k-1)(4k-3)=2(4k2-5k+2)-1，
∴r=4k²-5k+2．
綜上所述，當(dāng)k=1時(shí)，不存在p，r；當(dāng)k≥2時(shí)，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2滿足題設(shè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了存在性問題的求解方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．