Question

【題目】三棱錐P﹣ABC中，底面△ABC滿足BA=BC， ，P在面ABC的射影為AC的中點，且該三棱錐的體積為 ，當其外接球的表面積最小時，P到面ABC的距離為（ ）
A.2
B.3
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設AC的中點為D，連接BD，PD，則PD⊥平面ABC， ∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，
設AB=BC=a，PD=h，外接球半徑OC=OP=R，
則OD=h﹣R，CD= AC= a，
∵VP﹣ABC= = = ，∴a2= ，
∵CD2+OD2=OC2 ， 即（h﹣R）2+ a2=R2 ，
∴R= = = ≥3 = ，
當且僅當 即h=3時取等號，
∴當外接球半徑取得最小值時，h=3．
故選：B．

設AB=a，棱錐的高為h，根據體積得出a與h的關系，根據勾股定理得出外接球半徑R關于h的表達式，利用基本不等式得出R最小值時對應的h的值即可．