Question

已知遞增等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且S₃=2S₂+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2n-1+a_n（n∈N^*），求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）先求出公比，再求出求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用分組求和，即可求{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設公比為q，由題意：q＞1，a₁=1，
則a₂=q，a₃=q²，
∵S₃=2S₂+1，∴a₁+a₂+a₃=2（a₁+a₂）+1，…（2分）
則1+q+q²=2（1+q）+1
解得：q=2或q=-1（舍去），…（4分）
∴a_n=2^n-1…（5分）
（Ⅱ）b_n=2n-1+a_n=2n-1+2^n-1…（7分）
則Tn=[1+3+…+(2n-1)]+1+(1+2+…2n-1)=

n[1+(2n-1)]

2

+

1-2n

1-2

=n²+2ⁿ-1…（10分）

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．