Question

（本題滿分15分）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，且離心率為,為橢圓的左頂點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（�。┤糁本�垂直于軸，求的大小;

（ⅱ）若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且.

由題意可知：，.           ………2分

所以.            

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.    ………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.設(shè).

（ⅰ）當(dāng)直線垂直于軸時，直線的方程為.

由 解得：或

即（不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方）.…………5分

則直線的斜率，直線的斜率.

因為 ，

所以 .

所以 .                  …………6分

（ⅱ）當(dāng)直線與軸不垂直時，由題意可設(shè)直線的方程為.

由消去得：.

因為 點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，顯然.

               ……………8分

因為 ，，，

所以

.

所以 .                           

所以 為直角三角形.             ………………11分

（III）假設(shè)存在直線使得為等腰三角形，則.

取的中點(diǎn)，連接，則.

記點(diǎn)為. 

另一方面，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

所以 點(diǎn)的縱坐標(biāo).

所以

.

所以 與不垂直，矛盾.

所以 當(dāng)直線與軸不垂直時，不存在直線使得為等腰三角形.…………13分

【解析】略