Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之和為4，設(shè)P點(diǎn)軌跡為C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）曲線C上不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）滿足：

AF2

=λ

F2B

，x₁+x₂=

1

2

，求λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得C是一個(gè)橢圓，焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），長(zhǎng)軸為4，由此能求出C的方程．
（Ⅱ）設(shè)AB：x=my+1，與橢圓聯(lián)立得：（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出λ的值．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之和為4，
∴C是一個(gè)橢圓，焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），長(zhǎng)軸為4，
故C：

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)AB：x=my+1，與橢圓聯(lián)立得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
由韋達(dá)定理y1+y2=-

6m

3m2+4

，…（7分）
x1+x2=m(y1+y2)+2=

8

3m2+4

=

1

2

，
解得m=±2.

AF2

=λ

F2B

⇒λ=-

y1

y2

．
不妨設(shè)m=2（m=-2是對(duì)稱的），
則16y²+12y-9=0，
解得y1=

-3+3 5

8

，y2=

-3-3 5

8

，
∴λ=

3± 5

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．