Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|，（a＞0）
（1）若a=2時，解不等式f（x）≤4；
（2）若不等式f（x）≤4的對一切x∈（a，2）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，去掉絕對值，化為與之等價的三個不等式組，求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題得x∈（a，2），所以當0＜a＜x＜2時，f（x）≤4，可得a≥2x-3在區(qū)間（a，2）上恒成立，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=2時，不等式f（x）≤4，即|x+1|+|x-2|≤4，
∴①$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-2x+1≤4}\end{array}\right.$，或 ②$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜2}\\{3≤4}\end{array}\right.$，或 ③$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x-1≤4}\end{array}\right.$．
解①求得-$\frac{3}{2}$≤x≤-1，解②求得-1＜x＜2，解③求得2$≤x≤\frac{5}{2}$，
故原不等式的解集為{x|-$\frac{3}{2}$$≤x≤\frac{5}{2}$}．
（2）由題得x∈（a，2），所以當0＜a＜x＜2時，f（x）≤4，可得a≥2x-3在區(qū)間（a，2）上恒成立，
所以a≥（2x-3）_max，所以a≥1，
綜上a的取值范圍為[1，2）．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，著重考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．