Question

18．如圖，設點A，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左頂點和左，右焦點，過點A作斜率為k的直線交橢圓于另一點B，連接BF₂并延長交橢圓于點C．
（1）求點B的坐標（用k表示）；
（2）若F₁C⊥AB，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設點B（x_B，y_B），直線AB的方程為y=k（x+2），與橢圓的方程聯(lián)立解可得x_B的值，將x_B的值代入直線方程可得y_B的值，即可得答案；
（2）由橢圓的標準方程可得F₂坐標，由直線的點斜式方程可得直線BF₂，CF₁方程，聯(lián)立可得C（8k²-1，-8k），代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中解可得k²的值，即可得答案．

解答 解：（1）設點B（x_B，y_B），直線AB的方程為y=k（x+2），
聯(lián)立$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$得，（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
∴$-2{x_B}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，即${x_B}=\frac{{-8{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}$，
∴${y_B}=k（{x_B}+2）=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$，
即$B（\frac{{-8{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}，\frac{12k}{{3+4{k^2}}}）$．
（2）易知F₂（1，0），${k_{B{F_2}}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$，${k_{C{F_1}}}=-\frac{1}{k}$，
所以直線BF₂，CF₁方程分別為$y=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}（x-1）$，$y=-\frac{1}{k}（x+1）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}（x+1）}\\{y=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}（x-1）}\end{array}}\right.$，解得C（8k²-1，-8k），
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
得192k⁴+208k²-9=0，即（24k²-1）（8k²+9）=0，
得${k^2}=\frac{1}{24}$，
所以$k=±\frac{{\sqrt{6}}}{12}$．

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，關鍵是由橢圓的標準方程求出點A，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂的坐標．