Question

8．已知雙曲線與 橢圓x²+4y²=64共焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程為$x-\sqrt{3}y=0$，則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線漸近線方程求得a和b的關(guān)系，即可求得a和b的值，求得雙曲線方程．

解答 解：由橢圓x²+4y²=64的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（±4$\sqrt{3}$，0），
則c=4$\sqrt{3}$，設(shè)雙曲線的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
漸近線方程y=±$\frac{a}$x，則$\frac{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即a=$\sqrt{3}$b，
由a²+b²=c²=48，解得：a²=36，b²=12，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的漸近線方程，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．