Question

用|S|表示集合S中的元素的個數，設A、B、C為集合，稱（A，B，C）為有序三元組．如果集合A、B、C滿足|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，且A∩B∩C=∅，則稱有序三元組（A，B，C）為最小相交．由集合{1，2，3，4}的子集構成的所有有序三元組中，最小相交的有序三元組的個數為

 

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Answer 1

分析：根據定義，確定 滿足條件的集合A，B，C的元素情況即可求出結果．要對集合{1，2，3，4}的子集進行討論．

解答：解：∵|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，
∴設A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，
∵A∩B∩C=∅，且x，y，z∈{1，2，3，4}，
∴①集合{1，2，3，4}中的子集含有4個元素時，
∴從1，2，3，4四個元素選3個有

C

3 4

=4種方法，
將3個元素進行全排列有

A

3 3

=3×2=6種，剩余的一個元素可以分別放入集合A，B，C，有3種，
∴此時共有3×4×6=72種．
②集合{1，2，3，4}中的子集含有3個元素時，
滿足集合A，B，C中都只有一個元素．
∴從1，2，3，4四個元素選3個有

C

3 4

=4種方法，
將3個元素進行全排列有

A

3 3

=3×2=6種，
∴此時共有4×6=24種．
綜上共有72+24=96個．
故答案為：96．

點評：本題主要考查集合的關系的應用，正確理解新定義是解決本題關鍵，利用排列組合的知識是解決本題的突破點．注意要討論集合為4元素集和3元素集時的取值情況．