Question

11．已知n＞0，求證：3n+$\frac{4}{{n}^{2}}$≥3$\root{3}{9}$．

Answer 1

分析 由n＞0，可得3n+$\frac{4}{{n}^{2}}$=$\frac{3n}{2}$+$\frac{3n}{2}$+$\frac{4}{{n}^{2}}$，運用三元均值不等式：a+b+c≥3$\root{3}{abc}$（a，b，c＞0，且a=b=c時取得等號），即可得證．

解答 證明：n＞0時，3n+$\frac{4}{{n}^{2}}$=$\frac{3n}{2}$+$\frac{3n}{2}$+$\frac{4}{{n}^{2}}$
≥3$\root{3}{\frac{3n}{2}•\frac{3n}{2}•\frac{4}{{n}^{2}}}$=3$\root{3}{9}$，
當且僅當$\frac{3n}{2}$=$\frac{4}{{n}^{2}}$，即n=$\root{3}{\frac{8}{3}}$時，取得等號．
則3n+$\frac{4}{{n}^{2}}$≥3$\root{3}{9}$．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用三元均值不等式，考查變形的技巧和推理能力，屬于基礎題．