Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，$\overrightarrow m=（a，2b-c）$，$\overrightarrow n=（cosA，cosC）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．
（Ⅰ）且角A的大小；
（Ⅱ）已知$a=2\sqrt{5}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．建立關(guān)系，利用正弦定理化簡(jiǎn)可得角A的大小
（Ⅱ）根據(jù)A的大小和$a=2\sqrt{5}$，利用余弦定理建立關(guān)系，與不等式基本性質(zhì)求出bc的最大值，可得△ABC面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow m=（a，\;\;2b-c）$，$\overrightarrow n=（cosA，\;\;cosC）$，
且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n⇒acosC=（2b-c）cosA$，
在△ABC中，由正弦定理：a：b：c=sinA：sinB：sinC，
可得：sinAcosC=（2sinB-sinC）cosA，
∴sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
而在△ABC中，sinB＞0，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
$0＜A＜π⇒A=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）在△ABC中，${b^2}+{c^2}-2bccosA={a^2}⇒{（2\sqrt{5}）^2}={b^2}+{c^2}-bc≥bc$（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立），
即${（bc）_{max}}=20（b=c=2\sqrt{5}）$，
又${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，
∴${（{S_{△ABC}}）_{max}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×20=5\sqrt{3}$，
因此，△ABC面積的最大值為$5\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的運(yùn)算、正余弦定理、基本不等式的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．