Question

7．已知正項等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，且滿足a₂=6，a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=900，設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若不等式λa_n≤1+S_n對一切n∈N^*恒成立，則實數(shù)λ的最大值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 求出數(shù)列的公比，求出前n項和，利用不等式求解最值即可．

解答 解：正項等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=6，a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=900，
可得a₂²+2a₂²q²+a₂²q⁴=900，
∴1+2q²+q⁴=25
解得q=2，
∴a₁=3
∴a_n=a₁q^n-1=3×2^n-1，
S_n=$\frac{3（1-{2}^{n}）}{1-2}$=3×2ⁿ-3，
不等式λa_n≤1+S_n對一切n∈N^*恒成立，
∴λ≤$\frac{1+{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3×{2}^{n}-2}{3×{2}^{n-1}}$，
∵2-$\frac{2}{3×{2}^{n-1}}$≥2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
則實數(shù)λ的最大值為：$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列的應用，數(shù)列求和，以及不等式的應用，最值的求法．