Question

19．某養(yǎng)殖場原有一塊直角梯形的水域ABCD，其中BC，AD與邊AB垂直，AD=800m，AB=2BC=600m．為滿足釣魚愛好者需要，計劃修建兩道互相垂直的水上棧道MF與ME，點M，E，F都在岸邊上，其中M為AB的中點，點E在岸邊BC上，設∠EMB=θrad，水上棧道MF與ME的長度和記為f（θ）（單位：m）．
（1）寫出f（θ）關于θ的函數關系式，并指出tanθ的范圍；
（2）求f（θ）的最小值，并求出此時θ的值．

Answer 1

分析 （1）由E在BC上，∠EMB=θ，得出0＜θ≤45°；
利用直角三角形的邊角關系求出ME、MF，寫出f（θ）=ME+MF；
（2）求出f（θ）的導數，利用f′（θ）=0求出f（θ）的最小值以及對應的θ值．

解答 解：（1）梯形ABCD中，BC⊥AB，AD∥BC，AD=800m，AB=2BC=600m；
MF⊥ME，且M為AB的中點，點E在BC上，設∠EMB=θ，則0＜θ≤45°；
∴ME=$\frac{MB}{cosθ}$=$\frac{300}{cosθ}$，
MF=$\frac{MA}{cos（90°-θ）}$=$\frac{300}{sinθ}$，
∴f（θ）=$\frac{300}{cosθ}$+$\frac{300}{sinθ}$，其中0°＜θ≤45°，
∴0＜tanθ≤1；
（2）由f（θ）=$\frac{300}{cosθ}$+$\frac{300}{sinθ}$，
得f′（θ）=300（$\frac{sinθ}{{cos}^{2}θ}$-$\frac{cosθ}{{sin}^{2}θ}$）=300•$\frac{{sin}^{3}θ{-cos}^{3}θ}{{sin}^{2}{θcos}^{2}θ}$，
令f′（θ）=0，解得sinθ=cosθ，
∴θ=45°，且0°＜θ＜45°時，f′（θ）＜0，f（θ）單調遞減；
∴θ=45°時，f（θ）=$\frac{300}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$+$\frac{300}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=600$\sqrt{2}$，為最小值．

點評 本題考查了直角三角形邊角關系的應用問題，也考查了三角函數求最值問題，是綜合性題目．